Pola Matematika, Induksi, dan Induksi Matematika

Posted on

Induksi Matematika – Bagian penting dari pekerjaan matematikawan adalah persepsi pola yang melibatkan angka. Kadang-kadang, seorang matematikawan menemukan beberapa persamaan dan merasakan adanya keteraturan umum di dalamnya.

Misalnya, lihat identitas sederhana berikut: 4 ^ 1-1 = 3 * 1, 4 ^ 2-1 = 3 * 5, 4 ^ 3-1 = 3 * 21, 4 ^ 4-1 = 3 * 85, dll. Siapapun dapat mengenali pola umum: kalikan 4 dengan dirinya sendiri sebanyak yang Anda suka dan kurangi 1 darinya, Anda akan selalu mendapatkan kelipatan 3.

Demikian pula, 1 + 2 + 3 = 3 * 4/2, 1+ 2 + 3 + 4 = 4 * 5/2, dll. Di sini sekali lagi Anda dapat melihat sebuah pola: tambahkan semua bilangan asli dari 1 ke bilangan apa pun yang Anda suka, hasil yang Anda dapatkan selalu sama dengan setengah dari produknya dengan penggantinya.

Konsep Dasar Dari Induksi Matematika

Matematikawan punya cara tertentu untuk menulis pola umum semacam itu. Yang pertama ditulis sebagai “4 * n-1 selalu habis dibagi 3”, dan yang kedua sebagai 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1) / 2. Demikian pula pola pada identitas 1 + 3 + 5 = 3 ^ 2, 1 + 3 + 5 + 7 = 4 ^ 2, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 ^ 2, dll. Ditulis sebagai 1 + 3 +5 + … + O_n = n ^ 2, O_n di sini berarti bilangan ganjil ke-n.

Matematikawan memahami pola yang melibatkan angka dan menuliskannya dengan cara yang dijelaskan di atas. Mereka telah menemukan berbagai macam pola yang menarik dan hanya dengan melihat sekilas varietasnya saja sudah cukup untuk membuat orang heran dan kagum.

Mari kita lihat beberapa di antaranya. Mereka telah menemukan berbagai macam pola yang menarik dan hanya dengan melihat sekilas varietasnya saja sudah cukup untuk membuat orang heran dan kagum. Mari kita lihat beberapa di antaranya.

Mereka telah menemukan berbagai macam pola yang menarik dan hanya dengan melihat sekilas varietasnya saja sudah cukup untuk membuat orang heran dan kagum. Mari kita lihat beberapa di antaranya.

Himpunan dengan 3 elemen memiliki 2 ^ 3 = 8 subset yang mungkin, himpunan dengan 4 elemen memiliki 2 ^ 4 = 16 subset, …, himpunan dengan n elemen memiliki 2 ^ n subset. 2 ^ 3-2 = 6 * 1, 3 ^ 3-3 = 6 * 4, 4 ^ 3-4 = 6 * 10, …, n ^ 3-n adalah kelipatan 6.

Mari kita tinggalkan nilai tengah langkah-langkah dan tulis ekspresi akhir dari pola mulai sekarang. x ^ 3-7x + 3 adalah kelipatan 3. 7 ^ n-5 ^ n adalah kelipatan 2. a ^ nb ^ n adalah kelipatan dari ab, a dan b adalah bilangan asli yang berbeda. nC1 + nC2 + … + nCn = 2n. Daftarnya hampir tidak ada habisnya.

Seseorang tidak boleh terlalu terburu-buru dalam menarik kesimpulan bahwa pola yang dia rasakan memang terbawa ke semua bilangan asli. Mari kita ambil contoh klasik dari ekspresi n ^ 2 + n + 41.

Bertahun-tahun yang lalu dipercaya secara luas bahwa ungkapan ini selalu memberi Anda bilangan prima tidak peduli bilangan asli apa pun yang Anda masukkan di tempat n. 1 ^ 2 + 1 + 41 = 43, bilangan prima; 2 ^ 2 + 2 + 41 = 47, bilangan prima; 3 ^ 3 + 3 + 41 = 53, lagi-lagi bilangan prima, …, 39 ^ 2 + 39 + 41 = 1601.

  Soal Olimpiade Matematika SMP

Seseorang benar-benar mulai merasa bahwa pola ini harus dibawa ke semua bilangan asli; mengonfirmasi sesuatu 39 kali meningkatkan kepercayaan seseorang hingga hampir pasti.

Tetapi Euler, salah satu ahli matematika paling produktif dalam sejarah, menunjukkan pada tahun 1772 bahwa hal ini tidak benar secara umum. 40 ^ 2 + 40 + 41 = 40 (40 + 1) + 41 = 40 * 41 + 41 = 41 (40 + 1) = 41 * 41, bilangan komposit bukan bilangan prima! Demikian pula, 41 ^ 2 + 41 + 41 = 41 (41 + 1 + 1), lagi bilangan komposit. Jadi, apa yang kita simpulkan? Kami menyadari bahwa konfirmasi berulang dari pola tertentu tidak selalu berarti bahwa pola tersebut akan terbawa ke semua angka.

Seseorang mulai merasakan kebutuhan akan sesuatu yang lain yang harus berfungsi sebagai tes untuk validitas pernyataan yang melibatkan pola angka.

Memahami pola dan menggeneralisasikannya ke semua kemungkinan situasi disebut induksi. Sebagian besar dari apa yang kita sebut pengetahuan bergantung pada proses induksi. Bagaimana kita tahu, misalnya, bahwa jika Anda kehilangan pegangan, sesuatu itu akan jatuh ke bumi dan bukannya terbang?

Induksi memberikan jawabannya; Sejak kita lahir, kita telah melihat ini terjadi ratusan kali, dan pengamatan berulang ini telah memberi kita keyakinan bahwa itu akan selalu terjadi setiap kali seseorang kehilangan kendali atas apa pun.

Apakah kamu ragu? Kehilangan sesuatu dan lihat apa yang terjadi! Api membakar, racun membunuh, pohon memberi kita buah, matahari bersinar untuk memberi kita cahaya dan terbit setiap hari, dll. Adalah beberapa hal yang kita percayai karena induksi.

Tidak hanya dalam fisika dan kehidupan sehari-hari, ini juga berlaku dalam kasus pola angka. Kami melakukan beberapa pengamatan, melihat pola, dan mulai merasa bahwa hal yang kita amati dalam kasus nomor tertentu yang dipilih, harus benar untuk semua nomor yang ada.

Ini adalah salah satu alat terkuat dari ahli matematika yang bekerja. Tetapi … ada sesuatu yang lebih kuat yang tidak tersedia dalam kasus pengalaman kita sehari-hari: ahli matematika telah mendapatkan Metode Induksi Matematika.

Induksi Matematika merupakan alat yang digunakan untuk melengkapi kekurangan yang melekat pada proses induksi, sehingga terpapar secara gamblang oleh pengamatan yang dilakukan oleh Euler pada tahun 1772.

Pengamatannya dengan jelas menunjukkan bahwa kita memerlukan beberapa metode lain untuk memastikan apakah pola yang kita rasakan terbawa ke semua bilangan atau tidak, dan apakah pernyataan terakhir, melibatkan n, yang telah kami tulis adalah benar untuk semua bilangan atau tidak.

  Teorema Pythagoras dan Bilangan Irasional

Ini dicapai dengan menggunakan Metode Induksi Matematika. Ini berfungsi sebagai uji validitas pernyataan umum tentang bilangan asli. Jika suatu klaim atau pernyataan lulus tes ini, itu pasti benar untuk semua bilangan yang dapat dimasukkan ke n pada ekspresi akhir.

Ingatlah bahwa tidak semua ekspresi berhubungan dengan semua bilangan asli. “4n-1 adalah kelipatan 3” berlaku untuk semua bilangan asli, tetapi n! > n ^ 2 benar untuk semua bilangan asli yang lebih besar dari 3, bukan benar untuk semua bilangan asli.

Jadi, saat berbicara tentang pola, kita harus memperhatikan jangkauan penerapannya. Demi kesederhanaan, dalam artikel ini kita akan membahas hanya pola-pola yang melibatkan semua bilangan asli. Sekarang mari kita lihat langkah-langkah metode ini.

Metode induksi matematika hanya terdiri dari dua langkah. Langkah pertama adalah melihat apakah pernyataan itu benar untuk bilangan asli 1 atau tidak. Yang kedua agak rumit; kita periksa hal-hal berikut: jika klaim itu benar untuk suatu nomor tertentu, apakah itu juga benar untuk nomor berikutnya?

Artinya, kami mempertimbangkan penerus dari angka-angka yang polanya benar dan memeriksa apakah klaim itu benar untuk semua penerus atau tidak.

Ketika seorang ahli matematika mengkonfirmasi dua hal ini, dia menulis temuannya sebagai bukti yang terdiri dari dua langkah: Pertama dia membuktikan bahwa klaim itu benar untuk 1, dan kedua, dia melanjutkan untuk membuktikan bahwa jika klaim itu benar untuk bilangan apa pun, itu harus benar untuk penggantinya juga.

Dari dua bukti ini komunitas matematika mulai menerima validitas umum dari klaim yang dibuat. Pertanyaan yang muncul di sini adalah “

Bayangkan deretan panjang ubin yang berdiri begitu dekat satu sama lain sehingga jika ada yang jatuh, tetangganya juga akan jatuh. Sekarang, jika seseorang membiarkan yang pertama jatuh, kita dapat melihat dengan jelas bahwa semua ubin akan jatuh.

Serupa halnya dengan angka. Jika pernyataan benar untuk 1 dan benar untuk penerus setiap bilangan yang benar, itu harus benar untuk semua bilangan.

Ada cara lain juga: Kita tahu bahwa pernyataan itu benar untuk 1, jadi dari langkah kedua kita tahu bahwa itu pasti benar untuk penggantinya, yaitu 2 – lagipula, kita telah membuktikan di langkah kedua bahwa klaim itu benar untuk penerus dari semua angka yang benar, maka itu harus benar untuk penerus 1 juga, yaitu 2.

Sekarang itu benar untuk 2, dari langkah kedua, itu harus benar untuk 3 juga; dan untuk 4, dan untuk 5, …, dan untuk 1000, dan untuk 1000 000, …, … dan … Nah,

  Soal Matematika Kelas 3 SD

Ada cara lain untuk melihatnya juga, dan secara pribadi, menurut saya itu lebih menarik. Ini tergantung pada fakta yang sangat sederhana tentang bilangan asli: Jika Anda memilih bilangan asli tertentu, berapa pun banyaknya, pasti ada bilangan terkecil di antara bilangan tersebut.

Misalnya, jika saya memilih nomor masuk siswa di kelas saya, semua orang dapat melihat bahwa pasti ada siswa dengan nomor masuk terkecil. Sangat sederhana.

Ini disebut Properti Pengurutan Bilangan Alami dengan Baik. Apakah fakta sederhana ini layak mendapat gelar terpisah? Ya, dan Anda akan melihat “mengapa” dalam waktu singkat.

Properti Pengurutan Bilangan Alami menyiratkan bahwa Metode Induksi Matematika memang tes yang valid dari kebenaran pernyataan umum yang melibatkan bilangan.

Misalkan, sebaliknya, ada pernyataan yang lulus tes ini dan masih salah untuk beberapa bilangan asli. Jika ada angka seperti itu, pasti ada angka terkecil. Sebut saja s. Tidak bisa menjadi 1 berdasarkan langkah pertama. Jadi itu harus memiliki pendahulu; sebut saja p.

Karena s adalah yang terkecil yang pernyataannya salah, itu harus benar untuk p, dan karenanya, pada langkah kedua, itu harus benar untuk penggantinya juga! Ini tidak mungkin; Jadi keberadaan angka-angka yang klaimnya salah tidak mungkin – keberadaannya akan menyiratkan keberadaan angka terkecil di antara mereka, yang keberadaannya tidak mungkin, karena untuk itu klaim harus benar dan salah pada saat yang bersamaan. Argumen yang sangat cerdas.

Ide dari metode ini benar-benar cerdik dan seseorang tidak bisa tidak mengagumi bakat orang yang memperkenalkannya. Saya ingin menyimpulkan artikel ini dengan mendaftar beberapa aplikasi menarik dari metode ini.

Rincian aplikasi ini dapat ditemukan di buku Rosen, Matematika Diskrit dan Aplikasinya. Ini bisa diterapkan untuk masalah ongkos kirim. Misalnya, kita dapat membuktikan dengan metode ini bahwa jumlah perangko 12 sen atau lebih dapat dibentuk hanya dengan menggunakan prangko 4 sen dan 5 sen.

Demikian pula, kami dapat membuktikan bahwa perangko seharga 8 sen atau lebih dapat dibentuk hanya dengan menggunakan prangko 3 sen dan 5 sen. Itu bisa diterapkan ke game. Misalnya, kita dapat membuktikan bahwa dalam permainan dua pemain tertentu, pemain kedua bisa menjamin kemenangan.

Ini dapat diterapkan untuk membuktikan fakta tertentu tentang turnamen round-robin. Ini banyak digunakan dalam Teori Bilangan dan banyak cabang matematika lainnya.

Ini dapat diterapkan untuk membuktikan bahwa lantai tertentu dapat dilapis dengan menggunakan ubin tertentu Berbagai aplikasi tidak terbatas.