Teorema Pythagoras dan Bilangan Irasional

Posted on

Teorema Pythagoras Sangat menarik untuk melihat bagaimana Teorema Pythagoras membantu dalam mengidentifikasi lokasi bilangan irasional pada Garis Bilangan.

Pertimbangkan bilangan x yang merupakan bilangan rasional tetapi bukan bilangan kuadrat sempurna.

Oleh karena itu, akar kuadrat dari x harus irasional, yaitu bilangan desimal yang tidak berujung dan tidak berulang. Sekarang, ketertarikan kita adalah menentukan di mana letak ini pada Garis Bilangan.

Untuk melakukan ini, mari kita pertimbangkan segitiga siku-siku yang alasnya sama dengan (x-1) / 2 sisi miringnya sama dengan (x + 1) / 2. Berapa tinggi segitiga siku-siku ini, maksud kami, lengan lain dari segitiga siku-siku? Mari kita anggap y.

Teorema Pythagoras memberi tahu kita bahwa jumlah kuadrat lengan segitiga siku-siku sama dengan kuadrat hipotenusa. Jadi, dalam segitiga yang baru saja kita pertimbangkan, kita bisa menulis:

Teorema Pythagoras dan Bilangan Irasional

[(x – 1) / 2] ^ 2 + y ^ 2 = [(x + 1) / 2] ^ 2

Atau y ^ 2 = [(x + 1) / 2] ^ 2 – [(x – 1) / 2] ^ 2

= [(x ^ 2 + 2x + 1) / 4] – [(x ^ 2 – 2x + 1) / 4]

= [(x ^ 2 + 2x + 1) – (x ^ 2 – 2x + 1)] / 4

= [x ^ 2 + 2x + 1 – x ^ 2 + 2x – 1)] / 4

= 4x ​​/ 4

= x

yaitu y ^ 2 = x â ?? ¹ y = √x

Ini persis seperti yang kami cari, akar kuadrat dari x yang tidak rasional. Sekarang, panjang lengan ketiga dari segitiga yang kita buat dapat ditandai pada Garis Bilangan menggunakan kompas.

Jadi, jika Anda mencari ukuran √x, inilah cara kami melakukannya. Tandai titik A. Tandai B sehingga AB = x satuan. Tandai C sehingga BC = 1 unit. Artinya, AC = x + 1. Membagi dua AC. Jika D adalah titik perpotongan AC, AD = DC = (x + 1) / 2. Sekarang, berapa panjang DB? Karena DC = (x + 1) / 2 dan BC = 1, DB = DC – BC = [(x + 1) / 2] – 1. Yaitu (x + 1-2) / 2 atau (x-1) / 2.

  Rumus Mean, Median, dan Modus Data Kelompok Lengkap Dengan Contoh Soal

Mari kita buat segitiga sekarang. Gambarlah garis tegak lurus AC di B. Dari D, potong garis vertikal di E sehingga DE = AD. Sekarang kita memiliki segitiga siku-siku di mana alasnya adalah (x-1) / 2 dan sisi miringnya adalah (x + 1) / 2.

Dapatkah Anda melihat ukuran BE nantinya? Tentu saja, seperti yang telah kita tunjukkan di atas, itu akan menjadi √x. Sekarang Anda dapat mentransfer panjang BE ini ke garis bilangan, menggunakan kompas.

Cobalah merepresentasikan √5, √7, √11, √6.8 dan √9.5 pada Garis Bilangan. Masing-masing pasti membutuhkan waktu beberapa menit atau kurang.

Matematika bisa menyenangkan. Saat Anda menjelajah, sungguh menarik untuk melihat bagaimana aritmatika, aljabar, dan geometri pada akhirnya bertemu.